Expression analytique du produit scalaire : énoncé (Terminale spé)

On écrit $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k$ et $\vec v=x'\vec\imath+y'\vec\jmath+z'\vec k$. Par bilinéarité, on développe $\vec u\cdot\vec v$ en neuf termes : $$\vec u\cdot\vec v=xx'\,\vec\imath\cdot\vec\imath+xy'\,\vec\imath\cdot\vec\jmath+xz'\,\vec\imath\cdot\vec k+yx'\,\vec\jmath\cdot\vec\imath+\dots+zz'\,\vec k\cdot\vec k$$

La base est orthonormée : $\vec\imath\cdot\vec\imath=\vec\jmath\cdot\vec\jmath=\vec k\cdot\vec k=1$ et les six produits de deux vecteurs distincts de la base sont nuls. Il reste $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

Avec $\vec v=\vec u$ : $\|\vec u\|^2=x^2+y^2+z^2$, d'où la norme. La distance $AB$ est la norme de $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}$.