Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace : définition (Terminale spé)

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l'espace. On choisit trois points $A$, $B$, $C$ tels que $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$. Ces trois points appartiennent à au moins un plan $\mathcal P$.

Le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$ est le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ calculé dans le plan $\mathcal P$, comme en Première. On admet que le résultat ne dépend ni du choix des points ni du choix du plan.

Ainsi, si $\vec u$ et $\vec v$ sont non nuls : $$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\left(\widehat{BAC}\right)$$ et si l'un des deux vecteurs est nul, $\vec u\cdot\vec v=0$.

En particulier $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$, que l'on note aussi $\vec u^{\,2}$.