Déterminer la droite d'intersection de deux plans : méthode (Terminale spé)
Déterminer la droite d'intersection de deux plans
- Vérifier que les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
- Écrire le système formé par les deux équations cartésiennes.
- Choisir une des inconnues comme paramètre, par exemple $z=t$.
- Exprimer les deux autres inconnues en fonction de $t$ : on obtient une représentation paramétrique de la droite.
- Contrôler en remplaçant dans les deux équations.
Si l'inconnue choisie comme paramètre conduit à une impossibilité, en choisir une autre.
Intersection de deux plans
Soient $\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$ et $\mathcal Q:\ 2x-y+z-1=0$. Les vecteurs normaux $\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires ($2=2\times1$ mais $-1\neq2\times2$) : les plans sont sécants.
On pose $z=t$ : $$\begin{cases}x+2y=2t-6\\2x-y=1-t\end{cases}$$ La seconde équation donne $y=2x-1+t$. Dans la première : $x+4x-2+2t=2t-6$, soit $5x=-4$, donc $x=-\frac45$. Puis $y=-\frac85-1+t=-\frac{13}5+t$.
La droite d'intersection est $\Delta:\ \begin{cases}x=-\frac45\\y=-\frac{13}5+t\\z=t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$.
Contrôle dans $\mathcal P$ : $-\frac45-\frac{26}5+2t-2t+6=-6+6=0$. Dans $\mathcal Q$ : $-\frac85+\frac{13}5-t+t-1=1-1=0$. Le vecteur directeur $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est bien orthogonal aux deux vecteurs normaux.
S’entraîner
- Produit scalaire et orthogonalité en coordonnées
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Équation du plan passant par trois points
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Déterminer la droite d'intersection de deux plans