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Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan : méthode (Terminale spé)

Méthode

Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

On dispose d'une représentation paramétrique de $d$ et d'une équation cartésienne de $\mathcal P$.

Remplacer $x$, $y$, $z$ dans l'équation de $\mathcal P$ par leurs expressions en fonction de $t$.
Résoudre l'équation obtenue, d'inconnue $t$ :
- une unique solution : $d$ et $\mathcal P$ sont sécants, on obtient le point en reportant $t$ ;
- aucune solution (égalité du type $5=0$) : $d$ est strictement parallèle à $\mathcal P$ ;
- tout réel $t$ est solution (égalité $0=0$) : $d$ est contenue dans $\mathcal P$.
Contrôler que le point trouvé vérifie l'équation du plan.

Exemple

Intersection d'une droite et d'un plan

Soient $\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$ et $d:\ \begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3+2t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$.

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec u\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ et $\vec u\cdot\vec n=1-2-4=-5\neq0$ : $d$ et $\mathcal P$ sont sécants.

En remplaçant : $(1+t)+2(2-t)-2(3+2t)+6=0$, soit $5-5t=0$, donc $t=1$.

Le point d'intersection est $I(2;1;5)$. Contrôle : $2+2-10+6=0$.

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