Chercher une solution particulière d'une forme imposée : méthode (Terminale spé)
Chercher une solution particulière d'une forme imposée
- Écrire la forme proposée avec des coefficients inconnus, par exemple $p(x)=mx+q$.
- Calculer $p'(x)$ et remplacer dans l'équation.
- Identifier les coefficients des deux membres (un polynôme est nul pour tout $x$ si et only si tous ses coefficients sont nuls) et résoudre le système obtenu.
- Conclure avec la propriété précédente, puis appliquer la condition initiale à la solution générale (pas à $p$).
Exemple avec une fonction affine
Résoudre $(E) : y'=y+x$ sur $\mathbb R$ avec $y(0)=1$, en cherchant d'abord une solution particulière affine.
On pose $p(x)=mx+q$. Alors $p'(x)=m$ et $p(x)+x=(m+1)x+q$. L'égalité $m=(m+1)x+q$ pour tout $x$ impose $m+1=0$ et $q=m$, donc $m=-1$ et $q=-1$ : $p(x)=-x-1$.
Vérification : $p'(x)=-1$ et $p(x)+x=-1$.
Solutions de $(E)$ : $y(x)=Ce^{x}-x-1$, $C\in\mathbb R$.
$y(0)=C-1=1$ donne $C=2$, donc $y(x)=2e^x-x-1$.
Ordre des étapes
La condition initiale s'applique à la solution générale $Ce^{ax}+p(x)$, jamais à la seule solution de l'équation homogène $Ce^{ax}$. Dans l'exemple précédent, écrire $Ce^0=1$ donnerait $C=1$, ce qui est faux.
S’entraîner
- Vérifier qu'une fonction est solution
- Reconnaître une forme composée
- Résoudre des équations y' = ay + b
- Primitives de formes composées moins visibles
- Solution particulière affine
Dans le cours
Primitives et équations différentielles : Chercher une solution particulière d'une forme imposée