On considère l'équation différentielle $(E) : y'+2y=4x$ sur $\mathbb R$.
- Déterminer deux réels $m$ et $q$ tels que la fonction $p(x)=mx+q$ soit solution de $(E)$.
- Résoudre l'équation homogène $(H) : y'+2y=0$.
- En déduire les solutions de $(E)$.
- Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$.
Remplacer $y$ par $mx+q$ et $y'$ par $m$, puis regrouper selon les puissances de $x$.
Une fonction affine est nulle pour tout $x$ si et seulement si ses deux coefficients sont nuls.
La condition initiale porte sur la solution générale complète.
1. $p'(x)=m$, donc $p'(x)+2p(x)=m+2mx+2q=2mx+(m+2q)$. La fonction $p$ est solution de $(E)$ si et seulement si $2mx+(m+2q)=4x$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire, par identification : $2m=4$ et $m+2q=0$. Donc $m=2$ et $q=-1$ : $p(x)=2x-1$.
Vérification : $p'(x)+2p(x)=2+4x-2=4x$.
2. $(H)$ s'écrit $y'=-2y$ : ses solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-2x}$, $C\in\mathbb R$.
3. Les solutions de $(E)$ sont la somme de la solution particulière $p$ et des solutions de $(H)$ : $$x\mapsto Ce^{-2x}+2x-1,\quad C\in\mathbb R.$$ 4. $f(0)=C+0-1=1$ donne $C=2$. Donc $f(x)=2e^{-2x}+2x-1$.
Vérification : $f'(x)=-4e^{-2x}+2$ et $f'(x)+2f(x)=-4e^{-2x}+2+4e^{-2x}+4x-2=4x$.
$p(x)=2x-1$ ; $f(x)=2e^{-2x}+2x-1$