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Solution particulière plus solutions de l'équation homogène : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Solution particulière plus solutions de l'équation homogène
Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On considère $(E) : y'=ay+f$ et l'équation homogène associée $(H) : y'=ay$.
Si $p$ est une solution particulière de $(E)$ sur $I$, alors les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions $$x\mapsto C\,e^{ax}+p(x),\quad C\in\mathbb R.$$ Au programme, la solution particulière est donnée par l'énoncé, ou cherchée sous une forme indiquée.
Démonstration : Solution particulière plus solutions de l'équation homogène
Démonstration
Démonstration
Soit $y$ dérivable sur $I$ et $z=y-p$. Comme $p'=ap+f$ : $$y'=ay+f\iff y'-p'=ay+f-(ap+f)\iff z'=az.$$ La démonstration de la section sur $y'=ay$ s'applique sur l'intervalle $I$ : $z'=az$ équivaut à $z(x)=Ce^{ax}$, c'est-à-dire $y(x)=Ce^{ax}+p(x)$.
S’entraîner
- Vérifier qu'une fonction est solution
- Résoudre des équations y' = ay
- Résoudre des équations y' = ay + b
- Solution particulière affine
- Solution particulière exponentielle