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Résoudre y' = ay + b avec une condition initiale : méthode (Terminale spé)

Méthode

Résoudre y' = ay + b avec une condition initiale

Mettre l'équation sous la forme $y'=ay+b$ en isolant $y'$. Identifier $a$ et $b$ avec leurs signes.
Chercher la solution constante $k$ en résolvant $0=ak+b$ (plutôt que d'apprendre $-\frac ba$ par cœur sans comprendre).
Écrire la solution générale : $y(x)=Ce^{ax}+k$.
Utiliser la condition initiale pour calculer $C$.
Vérifier : la valeur en $x_0$ et, si possible, l'équation elle-même.

Exemple

Exemple complet

Résoudre $y'=-2y+6$ avec $y(0)=1$.

Conclusion : $y(x)=3-2e^{-2x}$.

Vérification : $y'(x)=4e^{-2x}$ et $-2y(x)+6=-6+4e^{-2x}+6=4e^{-2x}$.

Exemple

Équation à remettre en forme

Résoudre $2y'-y=4$.

On isole $y'$ : $2y'=y+4$, soit $y'=\frac12y+2$. Donc $a=\frac12$, $b=2$.

Solution constante : $0=\frac12k+2$ donne $k=-4$.

Solutions : $x\mapsto Ce^{\frac x2}-4$, $C\in\mathbb R$.

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