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Comportement en $+\infty$ : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Comportement en $+\infty$
Soit $y(x)=Ce^{ax}-\frac ba$.
- Si $a<0$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{ax}=0$, donc toutes les solutions tendent vers $-\frac ba$. Cette valeur est un état d'équilibre stable : la température d'une pièce, la tension du générateur, la quantité limite de médicament.
- Si $a>0$ : seule la solution constante reste bornée ; les autres tendent vers $+\infty$ si $C>0$, vers $-\infty$ si $C<0$.
Remarque
Le cas a = 0
Si $a=0$, l'équation devient $y'=b$ : c'est une recherche de primitive. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto bx+C$. La formule $-\frac ba$ n'a alors aucun sens.
S’entraîner
- Primitives des fonctions de référence
- Reconnaître une forme composée
- Primitive prenant une valeur donnée
- Résoudre des équations y' = ay + b
- Primitives de formes composées moins visibles
Dans le cours
Primitives et équations différentielles : Comportement en $+\infty$