- Vérifier que $7^1-1$ et $7^2-1$ sont divisibles par $6$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7^n-1$ est divisible par $6$.
Écrire la propriété sous la forme : il existe un entier $k$ tel que $7^n-1=6k$.
Dans l'hérédité, exprimer $7^n$ en fonction de $k$, puis écrire $7^{n+1}=7\times 7^n$.
Il faut obtenir $7^{n+1}-1=6\times(\text{un entier})$.
1. $7^1-1=6=6\times 1$ et $7^2-1=48=6\times 8$ : ces deux nombres sont divisibles par $6$.
2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « il existe un entier $k$ tel que $7^n-1=6k$ ».
Initialisation. $7^0-1=1-1=0=6\times 0$. Donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que $7^n-1=6k$, c'est-à-dire $7^n=6k+1$. Alors $$7^{n+1}-1=7\times 7^n-1=7(6k+1)-1=42k+7-1=42k+6=6(7k+1).$$ Comme $7k+1$ est un entier, $7^{n+1}-1$ est divisible par $6$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7^n-1$ est divisible par $6$.
$7^n-1$ est divisible par $6$ pour tout $n\in\mathbb{N}$