Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $$S_n=\sum_{k=0}^{n}2^k=1+2+4+\cdots+2^n.$$
- Calculer $S_0$, $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $S_n=2^{n+1}-1$.
- En déduire la valeur de $1+2+4+\cdots+1024$.
Attention : la somme commence à $k=0$, donc $S_0$ contient un seul terme, $2^0$.
Dans l'hérédité, le terme ajouté pour passer de $S_n$ à $S_{n+1}$ est $2^{n+1}$.
Pour la question 3, écrire $1024$ comme une puissance de $2$.
1. $S_0=2^0=1$, $S_1=1+2=3$, $S_2=1+2+4=7$, $S_3=1+2+4+8=15$.
2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $S_n=2^{n+1}-1$ ».
Initialisation. $S_0=1$ et $2^{0+1}-1=2-1=1$. Donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $S_n=2^{n+1}-1$. Montrons que $S_{n+1}=2^{n+2}-1$.
On isole le dernier terme, puis on utilise l'hypothèse de récurrence : $$S_{n+1}=S_n+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\times 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1.$$ Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $S_n=2^{n+1}-1$.
3. $1024=2^{10}$, donc $1+2+4+\cdots+1024=S_{10}=2^{11}-1=2048-1=2047$.
$S_n=2^{n+1}-1$ ; $1+2+\cdots+1024=2047$