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Hérédité d'une formule de somme : méthode (Terminale spé)
Méthode
Hérédité d'une formule de somme
- Écrire le but : la formule au rang $n+1$, avec le membre de droite où $n$ est remplacé par $n+1$.
- Isoler le dernier terme : $S_{n+1}=S_n+u_{n+1}$.
- Remplacer $S_n$ grâce à l'hypothèse de récurrence.
- Factoriser par le facteur commun attendu (souvent $n+1$) plutôt que tout développer.
- Comparer avec le but en développant, si besoin, le membre de droite du but.
Remarque
La récurrence vérifie, elle ne trouve pas
Une récurrence démontre une formule déjà connue ou conjecturée. Pour la conjecturer, on calcule les premières valeurs, souvent à la calculatrice ou avec un programme Python, puis on cherche une régularité.
S’entraîner
- Somme des puissances de 2
- Somme des cubes
- Une inégalité vraie à partir d'un certain rang
- Une hérédité trompeuse
- Majorer une somme qui converge
Dans le cours
Raisonnement par récurrence : Hérédité d'une formule de somme