- Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
- Calculer $1^3+2^3+\cdots+10^3$.
- En utilisant la formule $\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, montrer que, pour tout $n\geq 1$, $\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2$.
Initialiser au rang $n=1$.
Dans l'hérédité, après avoir ajouté $(n+1)^3$, factoriser par $(n+1)^2$.
Reconnaître une identité remarquable dans le crochet obtenu.
1. Pour tout entier $n\geq 1$, on note $P(n)$ : « $\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ ».
Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1^3=1$ et $\dfrac{1^2\times 2^2}{4}=\dfrac44=1$. Donc $P(1)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé. On suppose $\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$. Montrons que $\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$.
On isole le dernier terme et on utilise l'hypothèse de récurrence : $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^3&=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\&=\frac{(n+1)^2\left[n^2+4(n+1)\right]}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}.\end{aligned}$$ Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. $P(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, la formule est vraie pour tout entier $n\geq 1$.
2. Avec $n=10$ : $1^3+2^3+\cdots+10^3=\dfrac{10^2\times 11^2}{4}=\dfrac{100\times 121}{4}=25\times 121=3025$.
3. Pour tout $n\geq 1$, $$\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{k=1}^{n}k^3.$$
$\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ ; $1^3+\cdots+10^3=3025$