Distinguer hérédité et vérité d'une propriétéComprendre le rôle de l'initialisationDémontrer une propriété de parité par récurrence
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $n^2+n$ est impair ».
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie.
- Calculer $n^2+n$ pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$. Que constate-t-on ?
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n^2+n$ est pair.
- Conclure sur la propriété $P(n)$. Quelle leçon en tirer ?
Indice 1
Développer $(n+1)^2+(n+1)$ et faire apparaître $n^2+n$.
Indice 2
Un nombre impair s'écrit $2k+1$, un nombre pair $2k$, avec $k$ entier.
Indice 3
La même décomposition sert aux questions 1 et 3.
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