Somme des premiers entiers : énoncé (Terminale spé)
Somme des premiers entiers
Pour tout entier $n\geq 1$, $$\sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
Démonstration : Somme des premiers entiers
Démonstration par récurrence
Pour $n\geq 1$, on note $P(n)$ : « $\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ».
Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1$ et $\dfrac{1\times 2}{2}=1$. $P(1)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé. On suppose $\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Montrons que $\sum_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$. $$\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^{n}k+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$ La dernière égalité s'obtient en factorisant par $n+1$ : $(n+1)\left(\dfrac{n}{2}+1\right)=(n+1)\dfrac{n+2}{2}$. $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n\geq 1$.
Somme des premiers nombres impairs
Montrons que, pour tout $n\geq 1$, $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$.
Initialisation. Pour $n=1$ : $2\times 1-1=1=1^2$.
Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé, on suppose $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$. Le terme ajouté au rang $n+1$ est $2(n+1)-1=2n+1$. Donc $$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=n^2+2n+1=(n+1)^2.$$
Conclusion. Pour tout $n\geq 1$, $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$.
Somme des carrés
Montrons que, pour tout $n\geq 1$, $$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1$ et $\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1$.
Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé, on suppose la formule vraie au rang $n$. Le but est $\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$. $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\\&=\frac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\&=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.\end{aligned}$$ Or $(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$. Donc $\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
Conclusion. La formule est vraie pour tout $n\geq 1$.
S’entraîner
- Expression explicite d'une suite définie par récurrence
- Somme des puissances de 2
- Une suite définie par un quotient
- Somme des cubes
- Majorer une somme qui converge