Principe de récurrence : énoncé (Terminale spé)
Principe de récurrence
Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $P(n)$ une proposition définie pour tout entier $n\geq n_0$. On suppose que :
- Initialisation : $P(n_0)$ est vraie ;
- Hérédité : pour tout entier $n\geq n_0$, si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie.
Alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$.
Statut du principe
Ce principe est admis en Terminale. Il traduit une propriété fondamentale de l'ensemble $\mathbb{N}$ : en partant de $n_0$ et en ajoutant $1$ autant de fois que nécessaire, on atteint tout entier $n\geq n_0$.
Dans l'hérédité, la phrase « $P(n)$ est vraie » s'appelle l'hypothèse de récurrence. On l'abrège souvent en HR.
Ce que dit vraiment l'hérédité
L'hérédité est une implication : $P(n)\Rightarrow P(n+1)$. Elle n'affirme pas que $P(n)$ est vraie. Elle affirme seulement que, si $P(n)$ l'était, alors $P(n+1)$ le serait aussi.
C'est l'initialisation qui fournit le premier cas vrai. Sans elle, l'hérédité seule ne prouve rien (voir la dernière section).
S’entraîner
- Expression explicite d'une suite définie par récurrence
- Somme des puissances de 2
- Une divisibilité par 6
- Une suite définie par un quotient
- Une première inégalité avec des puissances