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Somme de variables aléatoires, produit par un réel : définition (Terminale spé)

Définition

Somme de variables aléatoires, produit par un réel

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $\Omega$ et $a$ un réel.

La variable aléatoire $X+Y$ est définie par $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$ pour tout $\omega\in\Omega$.
La variable aléatoire $aX$ est définie par $(aX)(\omega)=a\,X(\omega)$.

On définit de même la somme $X_1+X_2+\dots+X_n$ de $n$ variables aléatoires.

Pour obtenir la loi de $X+Y$, on regroupe tous les couples de valeurs $(x,y)$ qui donnent la même somme : $$P(X+Y=s)=\sum_{x+y=s}P\big(\{X=x\}\cap\{Y=y\}\big).$$

Exemple

Loi d'une somme

On lance une pièce équilibrée : $X$ vaut $1$ si on obtient Pile, $0$ sinon. Puis, de façon indépendante, on tire au hasard un jeton parmi trois jetons numérotés $1$, $2$, $3$ : $Y$ est le numéro obtenu.

Les deux expériences étant indépendantes, chaque couple $(x,y)$ a pour probabilité $\frac12\times\frac13=\frac16$.

$(x,y)$	$(0,1)$	$(0,2)$	$(0,3)$	$(1,1)$	$(1,2)$	$(1,3)$
$x+y$	$1$	$2$	$3$	$2$	$3$	$4$

On en déduit la loi de $X+Y$ :

$s$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X+Y=s)$	$\frac16$	$\frac13$	$\frac13$	$\frac16$

Par exemple $P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=\frac16+\frac16=\frac13$.

Alors $E(X+Y)=1\times\frac16+2\times\frac13+3\times\frac13+4\times\frac16=\frac{1+4+6+4}{6}=\frac{15}{6}=\frac52$.

Or $E(X)=\frac12$ et $E(Y)=\frac{1+2+3}{3}=2$ : on constate que $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

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