Alice lance $10$ fléchettes ; chacune atteint la zone centrale avec la probabilité $0{,}6$. Bruno lance $8$ fléchettes ; chacune atteint la zone centrale avec la probabilité $0{,}5$. Tous les lancers sont indépendants. On note $X$ le nombre de fléchettes d'Alice dans la zone centrale, $Y$ celui de Bruno, et $D=X-Y$.
- Donner les lois de $X$ et $Y$, leurs espérances et leurs variances.
- Calculer $E(D)$ et interpréter.
- Calculer $V(D)$ et $\sigma(D)$ (arrondi au centième). Un élève trouve $V(D)=0{,}4$ : expliquer son erreur.
- Majorer $P(|D-2|\geq5)$, puis en déduire une minoration de $P(-2\leq D\leq6)$.
$X$ et $Y$ comptent des succès dans des répétitions indépendantes.
Justifier l'indépendance de $X$ et $Y$ avant d'additionner des variances.
$D$ ne prend que des valeurs entières : $-3<D<7$ équivaut à $-2\leq D\leq6$.
- $X$ compte les succès sur $10$ lancers indépendants de même probabilité de succès $0{,}6$ : $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}6)$, $E(X)=6$, $V(X)=10\times0{,}6\times0{,}4=2{,}4$.
De même $Y\sim\mathcal{B}(8\,;0{,}5)$, $E(Y)=4$, $V(Y)=8\times0{,}5\times0{,}5=2$.
-
Par linéarité : $E(D)=E(X)-E(Y)=6-4=2$. Sur un grand nombre de séances, Alice place en moyenne $2$ fléchettes de plus que Bruno dans la zone centrale.
-
$X$ ne dépend que des lancers d'Alice et $Y$ que de ceux de Bruno ; ces lancers sont indépendants, donc $X$ et $Y$ sont indépendantes. Ainsi $$V(D)=V(X)+(-1)^2V(Y)=2{,}4+2=4{,}4,$$ et $\sigma(D)=\sqrt{4{,}4}\approx2{,}10$.
L'élève a calculé $V(X)-V(Y)=2{,}4-2=0{,}4$ : il a oublié que le coefficient $-1$ est élevé au carré. La variance d'une différence de variables indépendantes est la somme des variances.
- D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $D$, avec $\delta=5$ : $$P(|D-2|\geq5)\leq\frac{4{,}4}{25}=0{,}176.$$ Par passage au contraire, $P(|D-2|<5)\geq1-0{,}176=0{,}824$, c'est-à-dire $P(-3<D<7)\geq0{,}824$. Comme $D$ est à valeurs entières, $-3<D<7$ équivaut à $-2\leq D\leq6$, donc $P(-2\leq D\leq6)\geq0{,}824$.
$E(D)=2$, $V(D)=4{,}4$, $\sigma(D)\approx2{,}10$ ; $P(-2\leq D\leq6)\geq0{,}824$