Linéarité de l'espérance : énoncé (Terminale spé)
Linéarité de l'espérance
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $\Omega$, et $a$, $b$ deux réels. Alors : $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)\qquad\text{et}\qquad E(aX)=aE(X).$$ Plus généralement $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ et, pour $n$ variables aléatoires : $$E(X_1+X_2+\dots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n).$$ Aucune hypothèse d'indépendance n'est nécessaire.
Démonstration : Linéarité de l'espérance
Linéarité de l'espérance (univers fini)
Notons $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_N\}$ et $p_k=P(\{\omega_k\})$.
On commence par écrire l'espérance comme une somme sur les issues. Si $X$ prend les valeurs $x_1,\dots,x_r$, l'événement $\{X=x_i\}$ est la réunion des issues $\omega_k$ telles que $X(\omega_k)=x_i$, donc $P(X=x_i)$ est la somme des $p_k$ correspondants. En regroupant les termes selon la valeur prise par $X$ : $$\sum_{k=1}^{N}X(\omega_k)\,p_k=\sum_{i=1}^{r}x_i\,P(X=x_i)=E(X).$$ On applique cette formule à $X+Y$ : $$E(X+Y)=\sum_{k=1}^{N}\big(X(\omega_k)+Y(\omega_k)\big)p_k=\sum_{k=1}^{N}X(\omega_k)p_k+\sum_{k=1}^{N}Y(\omega_k)p_k=E(X)+E(Y).$$ De même $E(aX)=\sum_{k=1}^{N}aX(\omega_k)p_k=a\sum_{k=1}^{N}X(\omega_k)p_k=aE(X)$.
Le cas de $n$ variables s'obtient en appliquant le résultat de proche en proche.
Pas besoin d'indépendance
On lance un dé équilibré à six faces. Soit $X$ le nombre obtenu et $Y=7-X$ le nombre inscrit sur la face opposée. Les variables $X$ et $Y$ sont très liées : connaître $X$, c'est connaître $Y$.
Pourtant la linéarité s'applique : $X+Y=7$, donc $E(X+Y)=7$, et l'on a bien $E(X)+E(Y)=3{,}5+3{,}5=7$.
S’entraîner
- Loi d'une somme de deux variables indépendantes
- Espérance et variance d'une combinaison linéaire
- Tirs à l'arc et loi binomiale
- Somme et moyenne d'un échantillon
- Premières utilisations de Bienaymé-Tchebychev
Dans le cours
Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Linéarité de l'espérance