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Terminale › Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres › Calculer une espérance en décomposant en somme

Calculer une espérance en décomposant en somme : méthode (Terminale spé)

Méthode

Calculer une espérance en décomposant en somme

Pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire dont la loi est difficile à obtenir :

  1. Écrire la variable comme une somme $X_1+\dots+X_n$ de variables simples (gain à chaque étape, indicatrice de succès à chaque épreuve, etc.).
  2. Calculer l'espérance de chaque $X_i$.
  3. Additionner, par linéarité de l'espérance. Il n'est pas nécessaire de connaître la loi de la somme.
Exemple

Gain sur quatre tirages

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire successivement $4$ boules avec remise. Chaque boule rouge fait gagner $2$ euros, chaque boule verte fait perdre $1$ euro. On note $G$ le gain total.

Pour $i\in\{1,2,3,4\}$, soit $G_i$ le gain au $i$-ième tirage. Alors $G=G_1+G_2+G_3+G_4$ et chaque $G_i$ a la même loi :

$g$ $2$ $-1$
$P(G_i=g)$ $0{,}6$ $0{,}4$

On a $E(G_i)=2\times0{,}6+(-1)\times0{,}4=0{,}8$. Par linéarité : $$E(G)=4\times0{,}8=3{,}2.$$ En moyenne, sur un grand nombre de parties, on gagne $3{,}20$ euros par partie.

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Dans le cours

Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Calculer une espérance en décomposant en somme