Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient $1$, $2$ ou $3$, il perd $3$ euros ; s'il obtient $4$ ou $5$, il gagne $1$ euro ; s'il obtient $6$, il gagne $5$ euros. On note $X$ son gain algébrique pour une partie.
- Donner la loi de $X$. Montrer que $E(X)=-\frac13$ et $V(X)=\frac{80}{9}$.
- Le joueur joue $n$ parties indépendantes ($n\geq1$) ; on note $S_n$ son gain total. Calculer $E(S_n)$ et $V(S_n)$.
- Montrer que $\{S_n\geq0\}\subset\left\{\left|S_n+\frac n3\right|\geq\frac n3\right\}$.
- En déduire que, pour tout $n\geq1$, $P(S_n\geq0)\leq\dfrac{80}{n}$.
- a) Pour $n=36$, cette majoration est-elle utile ? b) À partir de combien de parties est-on sûr que la probabilité que le joueur ne soit pas en perte est au plus $0{,}05$ ? c) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}P(S_n\geq0)$ et interpréter.
Calculer $E(X^2)$ puis utiliser König-Huygens.
Si $S_n\geq0$, alors $S_n+\frac n3\geq\frac n3$.
Appliquer Bienaymé-Tchebychev à $S_n$ avec $\delta=\frac n3$ ; simplifier par $n$.
Pour la limite, encadrer entre $0$ et $\frac{80}{n}$.
- $P(X=-3)=\frac36=\frac12$, $P(X=1)=\frac26=\frac13$, $P(X=5)=\frac16$.
$E(X)=-3\times\frac12+1\times\frac13+5\times\frac16=-\frac96+\frac26+\frac56=-\frac26=-\frac13$.
$E(X^2)=9\times\frac12+1\times\frac13+25\times\frac16=\frac{27}{6}+\frac{2}{6}+\frac{25}{6}=\frac{54}{6}=9$, donc $V(X)=9-\frac19=\frac{80}{9}$.
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$S_n=X_1+\dots+X_n$ où $X_i$ est le gain de la $i$-ième partie. Les parties étant indépendantes, $(X_1,\dots,X_n)$ est un échantillon de la loi de $X$. Donc $E(S_n)=-\dfrac n3$ et $V(S_n)=\dfrac{80n}{9}$.
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Si $S_n\geq0$, alors $S_n+\frac n3\geq\frac n3>0$, donc $\left|S_n+\frac n3\right|=S_n+\frac n3\geq\frac n3$. D'où l'inclusion.
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Par l'inclusion, puis l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $S_n$ (d'espérance $-\frac n3$) avec $\delta=\frac n3>0$ : $$P(S_n\geq0)\leq P\left(\left|S_n-E(S_n)\right|\geq\frac n3\right)\leq\frac{V(S_n)}{(n/3)^2}=\frac{80n/9}{n^2/9}=\frac{80}{n}.$$
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a) Pour $n=36$ : $\frac{80}{36}\approx2{,}22>1$. La majoration n'apporte aucune information.
b) Il suffit que $\frac{80}{n}\leq0{,}05$, soit $n\geq1600$. À partir de $1600$ parties, $P(S_n\geq0)\leq0{,}05$.
c) Pour tout $n\geq1$, $0\leq P(S_n\geq0)\leq\frac{80}{n}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{80}{n}=0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}P(S_n\geq0)=0$.
Interprétation : sur un très grand nombre de parties, il devient presque certain que le joueur est en perte. Le jeu a une espérance négative et l'organisateur en tire profit à long terme.
$E(S_n)=-\frac n3$, $V(S_n)=\frac{80n}{9}$ ; $P(S_n\geq0)\leq\frac{80}{n}$ ; $n\geq1600$ ; limite $0$