Dans une région, $20\,\%$ des foyers sont équipés d'une pompe à chaleur. On interroge $400$ foyers choisis au hasard ; ce choix est assimilé à $400$ tirages indépendants avec remise. On note $X$ le nombre de foyers équipés parmi eux.
- Donner la loi de $X$, son espérance, sa variance et son écart type.
- Déterminer le plus petit entier $\delta$ tel que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantisse $P(|X-80|\geq\delta)\leq0{,}05$. En déduire un intervalle $[a\,;b]$, avec $a$ et $b$ entiers, tel que $P(a\leq X\leq b)\geq0{,}95$.
- En utilisant la forme $P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}$ avec $k=2$, déterminer des entiers $c$ et $d$ tels que $P(c\leq X\leq d)\geq0{,}75$.
- Dans une commune de cette région, sur $400$ foyers interrogés au hasard, $121$ sont équipés. Que peut-on en penser ?
Il faut $\frac{V}{\delta^2}\leq0{,}05$, c'est-à-dire $\delta^2\geq\frac{V}{0{,}05}$.
L'inégalité porte sur $|X-80|<\delta$, avec des inégalités strictes : attention aux bornes entières.
Comparer $121$ à l'intervalle trouvé à la question 2.
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$X$ compte les succès dans $400$ épreuves indépendantes de probabilité de succès $0{,}2$ : $X\sim\mathcal{B}(400\,;0{,}2)$. Donc $\mu=E(X)=400\times0{,}2=80$, $V=V(X)=400\times0{,}2\times0{,}8=64$ et $\sigma=8$.
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D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(|X-80|\geq\delta)\leq\dfrac{64}{\delta^2}$. Il suffit que $\dfrac{64}{\delta^2}\leq0{,}05$, soit $\delta^2\geq1280$, soit $\delta\geq\sqrt{1280}\approx35{,}78$. Le plus petit entier convenable est $\delta=36$ : $\dfrac{64}{1296}\approx0{,}049\leq0{,}05$.
Par passage au contraire, $P(|X-80|<36)\geq0{,}95$, c'est-à-dire $P(44<X<116)\geq0{,}95$. Comme $X$ est entière, $44<X<116$ équivaut à $45\leq X\leq115$ : $$P(45\leq X\leq115)\geq0{,}95.$$
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Avec $k=2$ : $P(|X-80|\geq16)\leq\dfrac14$, donc $P(|X-80|<16)\geq0{,}75$, soit $P(64<X<96)\geq0{,}75$, c'est-à-dire $P(65\leq X\leq95)\geq0{,}75$.
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Si la proportion de foyers équipés dans cette commune était $0{,}2$, l'événement $\{X\geq116\}$, contenu dans $\{|X-80|\geq36\}$, aurait une probabilité au plus $0{,}05$. Or on observe $121$, valeur hors de $[45\,;115]$. On peut donc penser, avec un risque d'erreur d'au plus $5\,\%$, que la proportion de foyers équipés dans cette commune est supérieure à $20\,\%$.
$\delta=36$ ; $P(45\leq X\leq115)\geq0{,}95$ ; $P(65\leq X\leq95)\geq0{,}75$