Exercice corrigé : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne peut pas être améliorée

Premiumapprofondissement●●●

Calculer une espérance et une varianceComparer une majoration à une probabilité exacteRaisonner sur un cas général avec paramètres

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $-2$, $0$ et $2$ avec $P(X=-2)=P(X=2)=\frac18$ et $P(X=0)=\frac34$. a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$. b) Que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $\delta=2$ ? Calculer la valeur exacte de $P(|X-E(X)|\geq2)$ et comparer. c) Même question pour $\delta=1$.
Soit $a>0$ et $p\in\left]0\,;\frac12\right]$. Soit $Y$ une variable prenant les valeurs $-a$, $0$ et $a$ avec $P(Y=-a)=P(Y=a)=p$ et $P(Y=0)=1-2p$. a) Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$. b) Montrer que, pour $\delta=a$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une égalité.
Un élève propose de remplacer, pour toute variable $Z$ et tout $\delta>0$, la majoration $\frac{V(Z)}{\delta^2}$ par $\frac{V(Z)}{2\delta^2}$. Montrer que sa proposition est fausse.

🔒 Corrigé Premium

Crée un compte gratuit : 5 corrigés Premium offerts chaque semaine

Le cours associé