Déterminer une taille d'échantillon : méthode (Terminale spé)

Combien de lancers d'un dé équilibré suffisent pour que la moyenne des résultats soit à moins de $0{,}1$ de $3{,}5$ avec une probabilité au moins $0{,}95$ ?

Ici $\mu=3{,}5$, $V=\frac{35}{12}$, $\delta=0{,}1$, $\alpha=0{,}05$. Il suffit que $$n\geq\frac{35/12}{0{,}05\times0{,}1^2}=\frac{35}{12}\times2000=\frac{70\,000}{12}\approx5833{,}3.$$ Avec $n=5834$ lancers, $P(|M_n-3{,}5|<0{,}1)\geq0{,}95$.

On veut estimer la proportion $p$ d'électeurs favorables à un projet par la fréquence $M_n$ observée dans un échantillon de $n$ personnes, assimilé à un échantillon de la loi de Bernoulli de paramètre $p$. Ici $\mu=p$ et $V=p(1-p)$, inconnue.

Pour tout réel $p$ : $\frac14-p(1-p)=p^2-p+\frac14=\left(p-\frac12\right)^2\geq0$, donc $V\leq\frac14$.

Pour une précision $\delta=0{,}02$ et un risque $\alpha=0{,}05$ : $$P(|M_n-p|\geq0{,}02)\leq\frac{p(1-p)}{n\times0{,}02^2}\leq\frac{0{,}25}{0{,}0004\,n}.$$ Il suffit que $\dfrac{0{,}25}{0{,}0004\,n}\leq0{,}05$, soit $n\geq\dfrac{0{,}25}{0{,}05\times0{,}0004}=12\,500$.

Un échantillon de $12\,500$ personnes garantit, quelle que soit la valeur de $p$, une estimation à moins de $0{,}02$ près avec une probabilité au moins $0{,}95$.