Loi faible des grands nombres : énoncé (Terminale spé)
Loi faible des grands nombres
Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un échantillon de la loi d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$, et $M_n$ sa moyenne. Pour tout réel $\delta>0$ : $$\lim_{n\to+\infty}P\big(|M_n-\mu|\geq\delta\big)=0.$$ Autrement dit, aussi petite que soit la précision $\delta$, la probabilité que la moyenne de l'échantillon s'écarte de $\mu$ d'au moins $\delta$ tend vers $0$ quand la taille de l'échantillon augmente.
Démonstration : Loi faible des grands nombres
Loi faible des grands nombres
Notons $V$ la variance de $X$ et fixons $\delta>0$. Pour tout $n\geq1$, une probabilité est positive et l'inégalité de concentration donne : $$0\leq P\big(|M_n-\mu|\geq\delta\big)\leq\frac{V}{n\delta^2}.$$ Comme $V$ et $\delta$ sont fixés, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{V}{n\delta^2}=0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\geq\delta)=0$.
Interprétation et simulation
Appliquée à une loi de Bernoulli de paramètre $p$, la loi des grands nombres dit que la fréquence d'un événement sur $n$ répétitions indépendantes se rapproche de sa probabilité $p$ quand $n$ devient grand. Elle justifie l'estimation d'une probabilité par une fréquence observée, et l'usage de simulations : en Python, on répète par une boucle une expérience aléatoire un grand nombre de fois et on calcule la moyenne des résultats pour approcher l'espérance.
Il existe une « loi forte des grands nombres », qui affirme une convergence plus forte de $M_n$ vers $\mu$ : elle est hors programme.
Pas de « compensation »
La loi des grands nombres ne dit pas qu'après une série de Pile, Face devient plus probable. Les lancers sont indépendants : chaque lancer a toujours une probabilité $\frac12$ de donner Pile.
Elle ne dit pas non plus que la somme $S_n$ se rapproche de $n\mu$ : au contraire $\sigma(S_n)=\sqrt n\,\sigma(X)$ augmente. C'est l'écart relatif $\dfrac{S_n-n\mu}{n}=M_n-\mu$ qui devient petit, parce qu'on divise par $n$.
S’entraîner
- Loi d'une somme de deux variables indépendantes
- Tirs à l'arc et loi binomiale
- Somme et moyenne d'un échantillon
- Variance d'une différence
- Tirages sans remise : linéarité sans indépendance
Dans le cours
Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Loi faible des grands nombres