Appliquer l'inégalité de concentrationDéterminer une taille d'échantillonDéterminer une précision garantie
La durée (en minutes) d'une tâche effectuée par un robot est modélisée par une variable aléatoire $X$ prenant un nombre fini de valeurs, d'espérance $\mu$ inconnue et de variance $V=9$. On mesure les durées de $n$ tâches, modélisées par un échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ de la loi de $X$, et on note $M_n$ leur moyenne.
- Déterminer une valeur de $n$ telle que l'inégalité de concentration garantisse $P(|M_n-\mu|\geq0{,}5)\leq0{,}01$.
- On mesure $n=1000$ tâches. Minorer $P(|M_n-\mu|<0{,}5)$.
- On mesure $n=3600$ tâches et on accepte un risque de $0{,}05$. Quelle est la plus petite précision $\delta$ que l'inégalité de concentration permet de garantir ? Arrondir au millième.
Indice 1
L'inégalité de concentration : $P(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{n\delta^2}$.
Indice 2
Pour la question 1, résoudre $\frac{V}{n\delta^2}\leq\alpha$ en $n$.
Indice 3
Pour la question 3, l'inconnue est $\delta$ : résoudre $\frac{9}{3600\,\delta^2}\leq0{,}05$.
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