Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules noires. On tire successivement et sans remise $3$ boules. Pour $i\in\{1,2,3\}$, $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ième boule tirée est rouge et $0$ sinon. On note $X=X_1+X_2+X_3$ le nombre de boules rouges obtenues.
- Calculer $P(X_1=1)$.
- À l'aide de la formule des probabilités totales, calculer $P(X_2=1)$.
- On admet que $P(X_3=1)=0{,}4$. En déduire $E(X)$.
- Déterminer la loi de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$ à partir de cette loi.
- Calculer $V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)$ et comparer à $V(X)$. Expliquer.
Pour le deuxième tirage, distinguer selon la couleur de la première boule.
La linéarité de l'espérance ne demande aucune indépendance.
Pour la loi de $X$, compter les ordres possibles : par exemple $X=2$ correspond à RRN, RNR, NRR, qui ont la même probabilité.
-
Au premier tirage, $4$ boules rouges sur $10$ : $P(X_1=1)=\dfrac{4}{10}=0{,}4$.
-
Les événements $\{X_1=1\}$ et $\{X_1=0\}$ forment une partition de l'univers. Par la formule des probabilités totales : $$P(X_2=1)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}+\frac{6}{10}\times\frac{4}{9}=\frac{12}{90}+\frac{24}{90}=\frac{36}{90}=0{,}4.$$
-
Par linéarité de l'espérance (valable même sans indépendance) : $E(X_i)=P(X_i=1)=0{,}4$ pour chaque $i$, donc $E(X)=3\times0{,}4=1{,}2$.
-
Il y a $10\times9\times8=720$ tirages ordonnés équiprobables.
- $X=3$ : $P(X=3)=\dfrac{4\times3\times2}{720}=\dfrac{24}{720}=\dfrac{1}{30}$.
- $X=0$ : $P(X=0)=\dfrac{6\times5\times4}{720}=\dfrac{120}{720}=\dfrac16$.
- $X=2$ : trois ordres (RRN, RNR, NRR), chacun de probabilité $\dfrac{4\times3\times6}{720}=\dfrac{72}{720}$, donc $P(X=2)=\dfrac{216}{720}=0{,}3$.
- $X=1$ : trois ordres, chacun de probabilité $\dfrac{4\times6\times5}{720}=\dfrac{120}{720}$, donc $P(X=1)=\dfrac{360}{720}=0{,}5$.
Vérification : $\frac{1}{30}+\frac16+0{,}3+0{,}5=\frac{1+5}{30}+0{,}8=0{,}2+0{,}8=1$.
$E(X)=0\times\frac16+1\times0{,}5+2\times0{,}3+3\times\frac1{30}=0{,}5+0{,}6+0{,}1=1{,}2$ : on retrouve le résultat de la question 3.
$E(X^2)=1\times0{,}5+4\times0{,}3+9\times\frac{1}{30}=0{,}5+1{,}2+0{,}3=2$, donc $V(X)=2-1{,}2^2=2-1{,}44=0{,}56$.
- Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}4$, donc $V(X_i)=0{,}4\times0{,}6=0{,}24$ et $V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)=0{,}72\neq0{,}56$.
Les tirages étant sans remise, les $X_i$ ne sont pas indépendantes (le résultat du premier tirage modifie la composition de l'urne). L'additivité de la variance ne s'applique pas. Seule l'espérance reste additive.
$E(X)=1{,}2$ ; $V(X)=0{,}56$, différent de $0{,}72$