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Inégalité de concentration : énoncé (Terminale spé)
Théorème
Inégalité de concentration
Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la loi d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Pour tout réel $\delta>0$ : $$P\big(|M_n-\mu|\geq\delta\big)\leq\frac{V}{n\delta^2}.$$
Démonstration : Inégalité de concentration
Démonstration
À partir de Bienaymé-Tchebychev (exigible)
D'après la section précédente, $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\dfrac Vn$.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$ : pour tout $\delta>0$, $$P\big(|M_n-E(M_n)|\geq\delta\big)\leq\frac{V(M_n)}{\delta^2},$$ c'est-à-dire $$P\big(|M_n-\mu|\geq\delta\big)\leq\frac{V/n}{\delta^2}=\frac{V}{n\delta^2}.$$
S’entraîner
- Premières utilisations de Bienaymé-Tchebychev
- Intervalle de fluctuation par Bienaymé-Tchebychev
- Taille d'échantillon pour estimer une moyenne
- Taille d'un sondage
- Simulation en Python et loi des grands nombres
Dans le cours
Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Inégalité de concentration