Exercice corrigé : Simulation en Python et loi des grands nombres

On considère la fonction Python suivante. On rappelle que random() renvoie un réel aléatoire de $[0\,;1[$ et que la condition random() < p est réalisée avec la probabilité $p$, indépendamment d'un appel à l'autre.

from random import random

def frequence(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.3:
            s = s + 1
    return s / n

1. Expliquer ce que représente la valeur renvoyée par frequence(n). On note $M_n$ la variable aléatoire correspondante.
2. Justifier que $M_n$ est la moyenne d'un échantillon d'une loi à préciser, puis calculer $E(M_n)$ et $V(M_n)$.
3. Pour $n=1000$, minorer la probabilité que la valeur renvoyée appartienne à $]0{,}25\,;0{,}35[$.
4. Déterminer une valeur de $n$ garantissant que la valeur renvoyée est à moins de $0{,}05$ de $0{,}3$ avec une probabilité au moins $0{,}99$.
5. Que dit la loi faible des grands nombres sur les valeurs renvoyées quand $n$ devient grand ?