Exercice corrigé : Taille d'un sondage

Un institut veut estimer la proportion $p$ de personnes d'une grande population qui utilisent un certain service. Il interroge $n$ personnes au hasard ; la fréquence observée $M_n$ est assimilée à la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

1. Rappeler $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $p$ et $n$.
2. Sans aucune information sur $p$, déterminer une taille $n$ qui garantit, par l'inégalité de concentration, $P(|M_n-p|\geq0{,}03)\leq0{,}1$.
3. Une étude antérieure assure que $p\leq0{,}1$. a) Étudier les variations de $f:p\mapsto p(1-p)$ sur $[0\,;0{,}1]$ et en déduire un majorant de $p(1-p)$. b) Déterminer une nouvelle taille $n$ suffisante pour la même précision et le même risque. Commenter.