Parallélisme et vecteurs directeurs : énoncé (Terminale spé)
Parallélisme et vecteurs directeurs
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle à un plan $\mathcal{P}$ dirigé par $(\vec{u}, \vec{v})$ si et seulement si $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
- Deux plans sont parallèles si et seulement si les deux vecteurs directeurs de l'un sont combinaisons linéaires des deux vecteurs directeurs de l'autre. En particulier, deux plans dirigés par le même couple $(\vec{u}, \vec{v})$ sont parallèles.
Vocabulaire du parallélisme
« Parallèles » englobe toujours le cas « confondus ». Deux droites parallèles sont soit strictement parallèles, soit confondues. Une droite parallèle à un plan est soit contenue dans le plan, soit strictement parallèle (aucun point commun). Pour trancher, on teste si un point de l'un appartient à l'autre.
Une droite parallèle à un plan dans le cube
Dans le cube $ABCDEFGH$, montrons que la droite $(EG)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
Le plan $(ABC)$ est dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. Or : $$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.$$ Le vecteur directeur $\overrightarrow{EG}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, donc $(EG)$ est parallèle à $(ABC)$. Comme $E \notin (ABC)$, elle est strictement parallèle au plan.
S’entraîner
- Sommes de vecteurs dans un cube
- Alignement, milieu et parallélogramme en coordonnées
- Décomposer des vecteurs dans un cube
- Deux plans parallèles dans un cube
- Sujet type bac : une diagonale du cube et le plan (BDG)
Dans le cours
Vecteurs, droites et plans de l'espace : Parallélisme et vecteurs directeurs