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Plan défini par trois points : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Plan défini par trois points
Si $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés, le plan $(ABC)$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Démonstration : Plan défini par trois points
Démonstration
Justification
Les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : ils dirigent bien un plan $\mathcal{P}$ passant par $A$.
- $A \in \mathcal{P}$ car $\overrightarrow{AA} = 0\,\overrightarrow{AB} + 0\,\overrightarrow{AC}$.
- $B \in \mathcal{P}$ car $\overrightarrow{AB} = 1\,\overrightarrow{AB} + 0\,\overrightarrow{AC}$.
- $C \in \mathcal{P}$ car $\overrightarrow{AC} = 0\,\overrightarrow{AB} + 1\,\overrightarrow{AC}$.
Par trois points non alignés passe un unique plan, donc $\mathcal{P} = (ABC)$.
S’entraîner
- Alignement, milieu et parallélogramme en coordonnées
- Représentation paramétrique et appartenance
- Quatre points coplanaires
- Trois positions relatives de droites
- Une droite et le plan (ABC)
Dans le cours
Vecteurs, droites et plans de l'espace : Plan défini par trois points