Dans un repère de l'espace, on considère les droites définies par les représentations paramétriques suivantes ($t$ et $s$ réels) : $$d_1 : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 3t \end{cases} \qquad d_2 : \begin{cases} x = 4 - 2s \\ y = -3 + 4s \\ z = 6 - 6s \end{cases}$$ $$d_3 : \begin{cases} x = 2 + s \\ y = -2 + s \\ z = 1 + 2s \end{cases} \qquad d_4 : \begin{cases} x = s \\ y = 2 - 2s \\ z = 1 + 3s \end{cases}$$
Étudier la position relative de $d_1$ et $d_2$, puis de $d_1$ et $d_3$, puis de $d_1$ et $d_4$. En cas d'intersection en un point, donner ses coordonnées.
Commencer chaque fois par comparer les vecteurs directeurs.
Pour des droites parallèles, tester si un point de l'une est sur l'autre.
Pour des vecteurs non colinéaires, résoudre le système en $(t ; s)$ avec deux équations et vérifier la troisième.
Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}_1(1 ; -2 ; 3)$.
$d_1$ et $d_2$. Un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u}_2(-2 ; 4 ; -6)$, et $\vec{u}_2 = -2\vec{u}_1$ (vérifié sur les trois coordonnées). Les droites sont parallèles. Le point $(4 ; -3 ; 6)$ de $d_2$ (obtenu pour $s = 0$) est-il sur $d_1$ ? $4 = 2 + t$ donne $t = 2$ ; alors $y = 1 - 4 = -3$ et $z = 6$. Il est sur $d_1$. Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues : $d_1 = d_2$.
$d_1$ et $d_3$. Un vecteur directeur de $d_3$ est $\vec{u}_3(1 ; 1 ; 2)$. Si $\vec{u}_3 = k\vec{u}_1$, la première coordonnée impose $k = 1$, mais $1 \neq -2$ : non colinéaires. On cherche $t$ et $s$ tels que : $$\begin{cases} 2 + t = 2 + s \\ 1 - 2t = -2 + s \\ 3t = 1 + 2s \end{cases}$$ La première ligne donne $s = t$. La deuxième devient $1 - 2t = -2 + t$, soit $t = 1$, donc $s = 1$. Troisième ligne : $3 \times 1 = 3$ et $1 + 2 \times 1 = 3$, vérifiée. Les droites sont sécantes ; avec $t = 1$ dans $d_1$, le point d'intersection est $(3 ; -1 ; 3)$.
$d_1$ et $d_4$. Un vecteur directeur de $d_4$ est $(1 ; -2 ; 3) = \vec{u}_1$ : les droites sont parallèles. Le point $(0 ; 2 ; 1)$ de $d_4$ ($s = 0$) est-il sur $d_1$ ? $0 = 2 + t$ donne $t = -2$, puis $y = 1 + 4 = 5 \neq 2$. Il n'est pas sur $d_1$ : $d_1$ et $d_4$ sont strictement parallèles.
$d_1$ et $d_2$ confondues ; $d_1$ et $d_3$ sécantes en $(3 ; -1 ; 3)$ ; $d_1$ et $d_4$ strictement parallèles