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Représentation paramétrique d'une droite : énoncé (Terminale spé)

Théorème

Représentation paramétrique d'une droite

Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par $A(x_A ; y_A ; z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a ; b ; c)$ non nul. Un point $M(x ; y ; z)$ appartient à $d$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que : $$\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\ z = z_A + t\,c \end{cases}$$ Ce système, avec $t \in \mathbb{R}$, est une représentation paramétrique de $d$ ; $t$ est le paramètre.

Démonstration : Représentation paramétrique d'une droite

Démonstration

Preuve

$M \in d$ si et seulement si il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$. En coordonnées, $\overrightarrow{AM}(x - x_A ; y - y_A ; z - z_A)$ et $t\vec{u}(ta ; tb ; tc)$. L'égalité des vecteurs équivaut à l'égalité des trois coordonnées : $x - x_A = ta$, $y - y_A = tb$, $z - z_A = tc$, ce qui donne le système annoncé.

Remarque

Non-unicité

Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point de passage et remplacer $\vec{u}$ par tout vecteur non nul colinéaire. Deux représentations d'aspect différent peuvent donc décrire la même droite. Pour le vérifier, on contrôle que les vecteurs directeurs sont colinéaires et qu'un point de l'une est sur l'autre.

On lit directement sur une représentation paramétrique un point (valeur $t = 0$) et un vecteur directeur (coefficients de $t$).

Exemple

Écrire une représentation et tester des points

Soit $d$ la droite passant par $A(1 ; -2 ; 3)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; 1 ; -1)$. Une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$

Le point $B(5 ; 0 ; 1)$ est-il sur $d$ ? La première équation donne $5 = 1 + 2t$, soit $t = 2$. Avec $t = 2$ : $y = -2 + 2 = 0$ et $z = 3 - 2 = 1$. Les trois coordonnées correspondent : $B \in d$.

Le point $C(3 ; -1 ; 3)$ est-il sur $d$ ? La première équation donne $t = 1$. Alors $y = -1$, correct, mais $z = 3 - 1 = 2 \neq 3$. Donc $C \notin d$.

S’entraîner

Dans le cours

Vecteurs, droites et plans de l'espace : Représentation paramétrique d'une droite