Soit $ABCD$ un tétraèdre. On note $I$, $J$, $K$, $L$, $P$, $Q$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[CD]$, $[AC]$, $[BD]$, $[AD]$, $[BC]$.
- Justifier que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$ est une base de l'espace, puis décomposer $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ}$ dans cette base.
- Soit $G$ le milieu de $[IJ]$. Montrer que $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\right)$.
- Montrer que les segments $[IJ]$, $[KL]$ et $[PQ]$ ont le même milieu.
- a) Soit $M$ un point et $x$, $y$ deux réels tels que $\overrightarrow{BM} = x\overrightarrow{BC} + y\overrightarrow{BD}$. Montrer que $\overrightarrow{AM} = (1 - x - y)\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC} + y\overrightarrow{AD}$. b) En déduire que la droite $(AG)$ coupe le plan $(BCD)$ en un unique point $M$, et exprimer $\overrightarrow{AM}$ dans la base. c) Montrer que $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}$ (ainsi $M$ est le centre de gravité du triangle $BCD$) et exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AM}$.
Pour un milieu $N$ de $[UV]$, on a $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AU} + \overrightarrow{AV})$ : le démontrer avec Chasles.
Un point est entièrement déterminé par les coordonnées du vecteur qui le relie à $A$.
En 4b, écrire $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AG}$ et identifier les coordonnées grâce à l'unicité de la décomposition.
- $ABCD$ est un tétraèdre, donc ses quatre sommets ne sont pas coplanaires : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires et forment une base.
Préliminaire : si $N$ est le milieu de $[UV]$, alors $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AU} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{UV} = \overrightarrow{AU} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AV} - \overrightarrow{AU}) = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AU} + \overrightarrow{AV})$.
Ainsi $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 0\right)$, et $\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$, de coordonnées $\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$.
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Par le préliminaire, $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AJ}) = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}$.
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$\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AL} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$. Le milieu $G'$ de $[KL]$ vérifie $\overrightarrow{AG'} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AL}) = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AG}$, donc $G' = G$.
De même $\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AQ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ ; le milieu $G''$ de $[PQ]$ vérifie $\overrightarrow{AG''} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AG}$, donc $G'' = G$. Les trois segments ont pour milieu commun $G$.
- a) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + x(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) + y(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = (1 - x - y)\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC} + y\overrightarrow{AD}$.
b) $B$, $C$, $D$ ne sont pas alignés, donc $(BCD)$ est le plan passant par $B$ dirigé par $(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD})$. Un point $M$ est sur $(AG)$ si et seulement si il existe $k$ réel tel que $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AG} = \dfrac{k}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{k}{4}\overrightarrow{AC} + \dfrac{k}{4}\overrightarrow{AD}$. Il est dans $(BCD)$ si et seulement si il existe $x$, $y$ avec l'écriture du a). Par unicité des coordonnées dans la base, $M$ est dans l'intersection si et seulement si : $$\begin{cases} 1 - x - y = \dfrac{k}{4} \\ x = \dfrac{k}{4} \\ y = \dfrac{k}{4} \end{cases}$$ En reportant : $1 - \dfrac{k}{2} = \dfrac{k}{4}$, soit $\dfrac{3k}{4} = 1$, donc $k = \dfrac{4}{3}$ et $x = y = \dfrac{1}{3}$. Le système a une unique solution : $(AG)$ coupe $(BCD)$ en un unique point $M$ tel que : $$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\right).$$
c) $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM}) + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM}) + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} - 3\overrightarrow{AM} = \vec{0}$.
$M$ est donc le centre de gravité du triangle $BCD$. Enfin $k = \dfrac{4}{3}$ signifie $\overrightarrow{AM} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{AG}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AM}$.
$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$ ; $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$ ; $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AM}$