Théorème du toit : énoncé (Terminale spé)

Soit $\vec{w}$ un vecteur directeur commun à $d_1$ et $d_2$ (elles sont parallèles). Comme $d_1 \subset \mathcal{P}_1$, $\vec{w}$ est combinaison linéaire des vecteurs directeurs de $\mathcal{P}_1$ ; de même pour $\mathcal{P}_2$.

Soit $A$ un point de $\Delta$ et $\delta$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{w}$. Comme $A \in \mathcal{P}_1$ et que $\vec{w}$ dirige une droite parallèle à $\mathcal{P}_1$, la droite $\delta$ est contenue dans $\mathcal{P}_1$. De même, $\delta \subset \mathcal{P}_2$. Donc $\delta \subset \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \Delta$. Deux droites dont l'une contient l'autre sont égales : $\delta = \Delta$, qui a donc $\vec{w}$ pour vecteur directeur. Ainsi $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$.