Une droite et un plan : énoncé (Terminale spé)

Dans un repère d'origine $O$, soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $O$ dirigé par $\vec{u}(1 ; 0 ; 1)$ et $\vec{v}(0 ; 1 ; 1)$, et $d : x = 1 + 2t,\ y = -1 + t,\ z = t$, $t \in \mathbb{R}$.

Position. Le vecteur directeur $\vec{w}(2 ; 1 ; 1)$ s'écrit-il $a\vec{u} + b\vec{v}$ ? Les deux premières coordonnées imposent $a = 2$ et $b = 1$, puis la cote vaudrait $a + b = 3 \neq 1$. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : $d$ coupe $\mathcal{P}$ en un unique point.

Point d'intersection. $M(1 + 2t ; -1 + t ; t)$ est dans $\mathcal{P}$ si et seulement si il existe $a$, $b$ avec $\overrightarrow{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}$, c'est-à-dire : $$\begin{cases} 1 + 2t = a \\ -1 + t = b \\ t = a + b \end{cases}$$ En reportant les deux premières lignes dans la troisième : $t = (1 + 2t) + (-1 + t) = 3t$, donc $t = 0$, puis $a = 1$, $b = -1$. Le point d'intersection est $(1 ; -1 ; 0)$, et l'on vérifie que $1 \cdot \vec{u} - 1 \cdot \vec{v}$ a bien pour coordonnées $(1 ; -1 ; 0)$.