Étudier la position relative de deux droites données par des représentations paramétriques : méthode (Terminale spé)

Soit $d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 1 + s \\ y = -1 + 2s \\ z = 6 - s \end{cases}$ avec $t, s \in \mathbb{R}$.

Vecteurs directeurs : $\vec{u}_1(1 ; -1 ; 2)$ et $\vec{u}_2(1 ; 2 ; -1)$. La première coordonnée imposerait $k = 1$, mais $2 \neq -1$ : ils ne sont pas colinéaires.

On cherche $t$ et $s$ tels que : $$\begin{cases} 1 + t = 1 + s \\ 2 - t = -1 + 2s \\ 3 + 2t = 6 - s \end{cases}$$ La première ligne donne $s = t$. La deuxième devient $2 - t = -1 + 2t$, soit $3t = 3$, donc $t = 1$ et $s = 1$. Troisième ligne : $3 + 2 = 5$ et $6 - 1 = 5$, vérifiée.

Les droites sont sécantes. Le point d'intersection s'obtient avec $t = 1$ dans $d_1$ : $(2 ; 1 ; 5)$.

Si l'on remplace $d_2$ par $d_3 : x = 1 + s,\ y = -1 + 2s,\ z = 4 - s$, les deux premières lignes donnent encore $t = s = 1$, mais la troisième donne $5$ d'un côté et $4 - 1 = 3$ de l'autre. Pas de point commun, vecteurs directeurs non colinéaires : $d_1$ et $d_3$ sont non coplanaires.