Développement limité : définition (MPSI)
Développement limité
Soit $f:I\to\mathbb R$, $a$ un point de $I$ ou une extrémité réelle de $I$, et $n\in\mathbb N$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, noté $\mathrm{DL}_n(a)$, s'il existe des réels $a_0,\dots,a_n$ tels que $$f(x)\underset{x\to a}{=}\sum_{k=0}^na_k(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big).$$ Le polynôme $\sum_{k=0}^na_k(x-a)^k$ est la partie régulière du développement.
Se ramener en $0$
En posant $x=a+h$, $f$ admet un $\mathrm{DL}_n(a)$ si et seulement si $h\mapsto f(a+h)$ admet un $\mathrm{DL}_n(0)$ : $$f(a+h)\underset{h\to0}{=}\sum_{k=0}^na_kh^k+o(h^n).$$ Les énoncés suivants sont écrits en $0$ quand cela allège l'écriture.
La fonction $x\mapsto\frac1{1-x}$
Pour $x\neq1$ et $n\in\mathbb N$, la somme géométrique donne $\sum_{k=0}^nx^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$, donc $$\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^nx^k+\frac{x^{n+1}}{1-x}.$$ Or $\frac{x^{n+1}}{1-x}=x^n\cdot\frac x{1-x}$ et $\frac x{1-x}\to0$ quand $x\to0$. Donc $$\frac1{1-x}\underset{x\to0}{=}1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n).$$
S’entraîner
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par somme et produit
- Développements limités par composition
- Un quotient : la fonction x/(e^x - 1)
- Limites par développements limités