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Donner le développement limité de $\ln(\cos x)$ à l'ordre $4$ en $0$.
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Donner le développement limité de $\sqrt{1+\sin x}$ à l'ordre $3$ en $0$.
Pour 1), écrire $\cos x=1+u$ avec $u=\cos x-1$, qui tend vers $0$ et est un $O(x^2)$.
Avec $u=O(x^2)$, quel ordre en $u$ faut-il pour le DL de $\ln(1+u)$ afin d'obtenir un reste $o(x^4)$ ?
Pour 2), $u=\sin x=O(x)$ : il faut développer $\sqrt{1+u}$ jusqu'à $u^3$.
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Au voisinage de $0$, $\cos x>0$ et $\ln(\cos x)=\ln(1+u)$ avec $$u=\cos x-1=-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$ On a $u\to0$ et $u=O(x^2)$, donc $u^3=O(x^6)=o(x^4)$ et $o(u^2)=o(x^4)$. Il suffit donc de $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}2+o(u^2)$. Or $u^2=\frac{x^4}4+o(x^4)$. Ainsi $$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^4}8+o(x^4)=-\frac{x^2}2-\frac{x^4}{12}+o(x^4),$$ puisque $\frac1{24}-\frac3{24}=-\frac2{24}=-\frac1{12}$. Contrôle : la fonction est paire, seuls des degrés pairs apparaissent.
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On pose $u=\sin x=x-\frac{x^3}6+o(x^3)$ : $u\to0$ et $u=O(x)$, donc $o(u^3)=o(x^3)$. Le DL de $(1+u)^{1/2}$ à l'ordre $3$ est $$\sqrt{1+u}=1+\frac u2-\frac{u^2}8+\frac{u^3}{16}+o(u^3).$$ À l'ordre $3$ : $u^2=x^2+o(x^3)$ (le terme suivant est de degré $4$) et $u^3=x^3+o(x^3)$. Donc $$\sqrt{1+\sin x}=1+\frac x2-\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}+o(x^3).$$ Coefficient de $x^3$ : $-\frac1{12}+\frac1{16}=\frac{-4+3}{48}=-\frac1{48}$. Finalement $$\sqrt{1+\sin x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8-\frac{x^3}{48}+o(x^3).$$
$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}2-\frac{x^4}{12}+o(x^4)$ ; $\sqrt{1+\sin x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8-\frac{x^3}{48}+o(x^3)$