Prépa, 1re année › Analyse asymptotique › Forme normalisée et équivalent
Forme normalisée et équivalent : énoncé (MPSI)
Propriété
Forme normalisée et équivalent
Si $f(x)=\sum_{k=p}^na_k(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big)$ avec $p\leq n$ et $a_p\neq0$, alors $$f(x)=(x-a)^p\Big(a_p+a_{p+1}(x-a)+\dots+a_n(x-a)^{n-p}+o\big((x-a)^{n-p}\big)\Big)$$ et $f(x)\underset{x\to a}{\sim}a_p(x-a)^p$. En particulier, au voisinage de $a$, $f(x)$ a le signe de $a_p(x-a)^p$.
Démonstration : Forme normalisée et équivalent
Démonstration
Forme normalisée
La factorisation est immédiate, avec $o\big((x-a)^n\big)=(x-a)^p\,o\big((x-a)^{n-p}\big)$. La parenthèse tend vers $a_p\neq0$, donc $\frac{f(x)}{a_p(x-a)^p}\to1$ pour $x\neq a$. La conservation du signe par équivalence donne la dernière affirmation.
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Développements limités en un point non nul
- Limites par développements limités
- Équivalents et limites de suites par DL
- Développement asymptotique de la racine n-ième de n