Calculer les limites suivantes.
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$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}$
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$\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-\cos x-x}{x^2}$
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$\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin x}x\right)^{1/x^2}$
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$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x}\right)$
Les termes prépondérants se compensent : développer chaque terme jusqu'au premier ordre où il reste un coefficient non nul.
Pour 3), écrire la puissance sous forme exponentielle et développer $\frac{\sin x}x$ à l'ordre $2$.
Pour 4), mettre $x$ en facteur sous chaque racine et poser $h=\frac1x$.
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Le dénominateur est d'ordre $3$, on développe le numérateur à l'ordre $3$ : $\sin x=x-\frac{x^3}6+o(x^3)$ et $x\cos x=x\left(1-\frac{x^2}2+o(x^2)\right)=x-\frac{x^3}2+o(x^3)$. Donc $$\sin x-x\cos x=\left(-\frac16+\frac12\right)x^3+o(x^3)=\frac{x^3}3+o(x^3).$$ Le quotient vaut $\frac13+o(1)$ : la limite est $\frac13$.
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À l'ordre $2$ : $e^x=1+x+\frac{x^2}2+o(x^2)$ et $\cos x=1-\frac{x^2}2+o(x^2)$. Donc $e^x-\cos x-x=x^2+o(x^2)$ et le quotient tend vers $1$.
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Pour $0<|x|<\pi$, $\frac{\sin x}x>0$ et $\left(\frac{\sin x}x\right)^{1/x^2}=\exp\left(\frac1{x^2}\ln\frac{\sin x}x\right)$. Avec $\sin x$ à l'ordre $3$ : $\frac{\sin x}x=1+u$, $u=-\frac{x^2}6+o(x^2)\to0$. Par substitution, $\ln(1+u)\sim u\sim-\frac{x^2}6$, donc $\frac1{x^2}\ln\frac{\sin x}x\to-\frac16$. Par continuité de $\exp$, la limite vaut $e^{-1/6}$.
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Pour $x>1$, avec $h=\frac1x\to0^+$ : $$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x}=x\left(\sqrt{1+h+h^2}-\sqrt{1-h}\right).$$ Par substitution dans $\sqrt{1+u}=1+\frac u2+o(u)$ : $\sqrt{1+h+h^2}=1+\frac h2+o(h)$ et $\sqrt{1-h}=1-\frac h2+o(h)$. La différence vaut $h+o(h)$, donc l'expression vaut $x\left(\frac1x+o\left(\frac1x\right)\right)=1+o(1)$. La limite est $1$.
$\frac13$ ; $1$ ; $e^{-1/6}$ ; $1$