DL d'ordre $0$ et d'ordre $1$ : énoncé (MPSI)
DL d'ordre $0$ et d'ordre $1$
Soit $a\in I$.
- $f$ admet un $\mathrm{DL}_0(a)$ si et seulement si $f$ est continue en $a$, et alors $a_0=f(a)$.
- $f$ admet un $\mathrm{DL}_1(a)$ si et seulement si $f$ est dérivable en $a$, et alors $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)$.
Si $a$ est une extrémité de $I$ qui n'appartient pas à $I$, l'existence d'un $\mathrm{DL}_0(a)$ équivaut à ce que $f$ soit prolongeable par continuité en $a$.
Démonstration : DL d'ordre $0$ et d'ordre $1$
Ordres $0$ et $1$
Ordre $0$ : $f(x)=a_0+o(1)$ signifie $f(x)\to a_0$ quand $x\to a$. Comme $a\in I$, cette limite vaut nécessairement $f(a)$ : c'est la continuité en $a$.
Ordre $1$ : si $f(x)=a_0+a_1(x-a)+o(x-a)$, la troncature et le point précédent donnent $a_0=f(a)$. Pour $x\neq a$, $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=a_1+o(1)\to a_1$ : $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=a_1$.
Réciproquement, si $f$ est dérivable en $a$, posons $\varepsilon(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$ pour $x\neq a$ et $\varepsilon(a)=0$. Alors $\varepsilon\to0$ en $a$ et $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\varepsilon(x)(x-a)$.
Un DL d'ordre 2 ne donne pas de dérivée seconde
Soit $f(x)=x^3\sin\frac1x$ pour $x\neq0$ et $f(0)=0$. Comme $|f(x)|\leq|x|^3$, on a $f(x)=o(x^2)$ : $f$ admet le $\mathrm{DL}_2(0)$ de partie régulière nulle.
Pourtant, $f'(0)=0$ et, pour $x\neq0$, $f'(x)=3x^2\sin\frac1x-x\cos\frac1x$. Le quotient $\frac{f'(x)-f'(0)}x=3x\sin\frac1x-\cos\frac1x$ n'a pas de limite en $0$ : $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$.
S’entraîner
- Développements limités par somme et produit
- Développements limités en un point non nul
- Développements limités par composition
- Un quotient : la fonction x/(e^x - 1)
- Dérivées successives en 0 par développement limité