Pour $n\geq1$, on pose $u_n=\sqrt[n]n=n^{1/n}$.
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Montrer que $u_n\to1$.
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Montrer que $u_n-1\sim\dfrac{\ln n}n$.
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Montrer que $$u_n=1+\frac{\ln n}n+\frac{(\ln n)^2}{2n^2}+o\left(\frac{(\ln n)^2}{n^2}\right).$$
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En déduire la limite de $\dfrac{n^2}{(\ln n)^2}\left(u_n-1-\dfrac{\ln n}n\right)$.
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Montrer que $\frac1n=o(u_n-1)$.
Écrire $u_n=\exp(t_n)$ avec $t_n=\frac{\ln n}n$.
$t_n\to0$ par croissances comparées : on peut substituer $t_n$ dans les développements de $e^t$ en $0$.
Pour 5), étudier le quotient $\frac{1/n}{u_n-1}$ à l'aide de 2).
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$u_n=\exp(t_n)$ avec $t_n=\frac{\ln n}n$. Par croissances comparées, $t_n\to0$, donc par continuité de $\exp$ en $0$, $u_n\to1$.
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On a $e^t-1\underset{t\to0}{\sim}t$ et $t_n\to0$. Par substitution, $u_n-1=e^{t_n}-1\sim t_n=\frac{\ln n}n$.
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Le DL $e^t=1+t+\frac{t^2}2+o(t^2)$ en $0$ et la substitution $t=t_n\to0$ donnent $$u_n=1+t_n+\frac{t_n^2}2+o(t_n^2)=1+\frac{\ln n}n+\frac{(\ln n)^2}{2n^2}+o\left(\frac{(\ln n)^2}{n^2}\right).$$
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D'après 3), $u_n-1-\frac{\ln n}n=\frac{(\ln n)^2}{2n^2}+o\left(\frac{(\ln n)^2}{n^2}\right)$. En multipliant par $\frac{n^2}{(\ln n)^2}$ (pour $n\geq2$) : $$\frac{n^2}{(\ln n)^2}\left(u_n-1-\frac{\ln n}n\right)=\frac12+o(1)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac12.$$
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Pour $n\geq2$, $u_n-1>0$ et, d'après 2), $\frac{1/n}{u_n-1}\sim\frac{1/n}{(\ln n)/n}=\frac1{\ln n}\to0$. Donc $\frac1n=o(u_n-1)$ : l'écart $u_n-1$ tend vers $0$ plus lentement que $\frac1n$.
$u_n=1+\frac{\ln n}n+\frac{(\ln n)^2}{2n^2}+o\left(\frac{(\ln n)^2}{n^2}\right)$ ; limite $\frac12$