Prépa, 1re année › Dérivabilité › Suite récurrente et fonction contractante
Suite récurrente et fonction contractante : méthode (MPSI)
Méthode
Suite récurrente et fonction contractante
Pour étudier $u_{n+1}=f(u_n)$ lorsque $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ :
- Trouver un intervalle $I$ stable ($f(I) \subset I$) contenant $u_0$ : tous les $u_n$ sont dans $I$.
- Montrer l'existence d'un point fixe $\ell \in I$ (souvent par le TVI appliqué à $f(x)-x$).
- Majorer $|f'| \le k$ sur $I$ avec $0 \le k<1$.
- Par l'inégalité des accroissements finis : $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)| \le k\,|u_n-\ell|$, puis par récurrence $|u_n-\ell| \le k^n|u_0-\ell| \to 0$.
On obtient la convergence et une vitesse géométrique, utile pour une approximation numérique.
Exemple
La suite $u_{n+1}=\cos u_n$
Prenons $u_0 \in [0,1]$. Sur $[0,1]$, $\cos$ décroît de $1$ à $\cos 1 \approx 0{,}54$ : $\cos([0,1])=[\cos 1,1] \subset [0,1]$, intervalle stable. La fonction $g(x)=\cos x-x$ est continue, $g(0)=1>0$ et $g(1)=\cos 1-1<0$ : par le TVI, il existe $\ell \in\, ]0,1[$ avec $\cos\ell=\ell$. Sur $[0,1]$, $|\cos'(x)|=\sin x \le \sin 1<1$. Donc $|u_n-\ell| \le (\sin 1)^n\,|u_0-\ell| \le (\sin 1)^n$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$ (avec $\sin 1 \approx 0{,}84$).
S’entraîner
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Une réciproque sans formule : la fonction $W$
- Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui n'est pas deux fois dérivable
- Suite récurrente contractante et nombre d'or