Théorème de la limite de la dérivée : énoncé (MPSI)
Théorème de la limite de la dérivée
Soit $f : I \to \mathbb{R}$, $a \in I$. On suppose $f$ continue sur $I$, dérivable sur $I \setminus \{a\}$, et $f'(x) \xrightarrow[x \to a,\ x \neq a]{} \ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \xrightarrow[x \to a]{} \ell.$$
- Si $\ell \in \mathbb{R}$ : $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)=\ell$, et $f'$ est continue en $a$.
- Si $\ell=\pm\infty$ : $f$ n'est pas dérivable en $a$ et son graphe a une tangente verticale en $a$.
Démonstration : Théorème de la limite de la dérivée
Preuve
Soit $x \in I$, $x \neq a$. $f$ est continue sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ et dérivable à l'intérieur (qui ne contient pas $a$). L'égalité des accroissements finis fournit $c_x$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c_x).$$ On a $0<|c_x-a|<|x-a|$, donc $c_x \to a$ quand $x \to a$, avec $c_x \neq a$. Par composition des limites, $f'(c_x) \to \ell$. D'où le résultat. Si $\ell$ est fini, cela signifie $f'(a)=\ell=\lim_{x \to a} f'(x)$, c'est-à-dire la continuité de $f'$ en $a$.
S’entraîner
- Raccord dérivable entre une droite et une racine carrée
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Racines de la dérivée d'un polynôme à racines connues
- Encadrement de l'arctangente
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle