Prolongement $\mathcal{C}^1$ : énoncé (MPSI)
Prolongement $\mathcal{C}^1$
Si $f$ est continue sur $I$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I \setminus \{a\}$ et si $f'$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $f'(a)=\ell$. C'est une reformulation directe du théorème précédent. Il s'étend aux fonctions à valeurs complexes en l'appliquant à la partie réelle et à la partie imaginaire.
Hypothèses du théorème
- La continuité en $a$ est indispensable. $f(x)=1$ pour $x>0$, $f(0)=0$ sur $[0,+\infty[$ : $f'(x)=0 \to 0$ mais $f$ n'est pas continue en $0$, donc pas dérivable en $0$.
- La réciproque est fausse : $f$ peut être dérivable en $a$ sans que $f'$ ait une limite. Avec $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$, $f(0)=0$ : $\tau_0(x)=x\sin\frac{1}{x} \to 0$ donc $f'(0)=0$, alors que pour $x \neq 0$, $f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$. Si $f'$ n'a pas de limite, on ne peut rien conclure : il faut revenir au taux d'accroissement.
Un raccord très plat
Soit $f(x)=e^{-1/x}$ pour $x>0$ et $f(x)=0$ pour $x \le 0$. Quand $x \to 0^+$, $-\frac{1}{x} \to -\infty$ donc $f(x) \to 0=f(0)$ : $f$ est continue en $0$, et continue ailleurs par opérations. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ avec $f'(x)=0$ pour $x<0$ et $f'(x)=\frac{1}{x^2}e^{-1/x}$ pour $x>0$. En posant $u=\frac{1}{x} \to +\infty$ : $f'(x)=u^2e^{-u} \to 0$ par croissances comparées. Donc $f'(x) \to 0$ des deux côtés, et le théorème donne : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $f'(0)=0$.
S’entraîner
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui n'est pas deux fois dérivable
- Dérivées successives de l'arctangente en $0$
- Examen : une fonction plateau de classe $\mathcal{C}^\infty$ (esprit Mines-Ponts)