Exercice corrigé : Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui n'est pas deux fois dérivable

1. Sur $]0,+\infty[$, $f$ est continue comme produit de fonctions continues. En $0$ : $x^2\ln x=x\cdot(x\ln x)$ et $x\ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$ (croissances comparées), donc $f(x) \to 0 \times 0=0=f(0)$. Ainsi $f$ est continue sur $[0,+\infty[$.

2. Sur $]0,+\infty[$, $f$ est $\mathcal{C}^1$ (fonctions usuelles) et $$f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x=2x\ln x+x.$$ Quand $x \to 0^+$, $2x\ln x \to 0$ et $x \to 0$, donc $f'(x) \to 0$. La fonction $f$ est continue sur $[0,+\infty[$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0,+\infty[$, et $f'$ admet la limite finie $0$ en $0$. Par le théorème de prolongement $\mathcal{C}^1$, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,+\infty[$ et $f'(0)=0$.

3. Pour $x>0$ : $$\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\frac{2x\ln x+x}{x}=2\ln x+1 \xrightarrow[x \to 0^+]{} -\infty.$$ Le taux d'accroissement de $f'$ en $0$ n'a pas de limite finie : $f'$ n'est pas dérivable en $0$ (son graphe a une tangente verticale en $0$).

Conclusion : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,+\infty[$ mais n'y est pas deux fois dérivable. C'est un exemple de fonction de $\mathcal{C}^1 \setminus \mathcal{D}^2$ (elle reste $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0,+\infty[$).

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