Dérivée et monotonie : énoncé (MPSI)
Dérivée et monotonie
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur l'intérieur $\mathring{I}$.
- $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f' \le 0$ sur $\mathring{I}$.
- $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'=0$ sur $\mathring{I}$.
- Si $f'>0$ sur $\mathring{I}$, $f$ est strictement croissante sur $I$.
Démonstration : Dérivée et monotonie
Preuve
Sens direct. Si $f$ est croissante et $x \in \mathring{I}$, pour tout $y \in I \setminus\{x\}$, $f(y)-f(x)$ et $y-x$ ont le même signe (au sens large), donc $\tau_x(y) \ge 0$. Par passage à la limite, $f'(x) \ge 0$.
Réciproque. Soient $x<y$ dans $I$. L'égalité des accroissements finis sur $[x,y]$ donne $c \in\, ]x,y[ \subset \mathring{I}$ tel que $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)$. Si $f' \ge 0$, ce nombre est $\ge 0$ : $f$ est croissante. Si $f'>0$, il est $>0$ : $f$ est strictement croissante. Le cas décroissant s'obtient avec $-f$, le cas constant en combinant les deux.
L'intervalle est essentiel
Sur une réunion d'intervalles disjoints, $f'=0$ n'implique pas $f$ constante : $f(x)=\frac{x}{|x|}$ sur $\mathbb{R}^*$ a une dérivée nulle mais vaut $-1$ sur $]-\infty,0[$ et $1$ sur $]0,+\infty[$. De même $x \mapsto -\frac{1}{x}$ a une dérivée strictement positive sur $\mathbb{R}^*$ mais n'est pas croissante sur $\mathbb{R}^*$.
S’entraîner
- Raccord dérivable entre une droite et une racine carrée
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Racines de la dérivée d'un polynôme à racines connues
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Logarithme : tangente et corde