Appliquer la formule de LeibnizJustifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^\infty$Vérifier une formule sur les premiers rangs
Soit $f(x)=(x^2+x)\,e^{2x}$ pour $x \in \mathbb{R}$.
- Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer $f^{(n)}(x)$ à l'aide de la formule de Leibniz, sous la forme $2^{n-2}e^{2x}Q_n(x)$ où $Q_n$ est un polynôme à préciser.
- Vérifier le résultat pour $n=0$ et $n=1$, puis calculer $f^{(n)}(0)$.
Indice 1
Poser $u(x)=x^2+x$ et $v(x)=e^{2x}$ : les dérivées de $u$ sont nulles à partir de l'ordre $3$.
Indice 2
$v^{(j)}(x)=2^je^{2x}$ ; mettre $2^{n-2}e^{2x}$ en facteur.
Indice 3
Pour $n=0$ et $n=1$, observer que les termes manquants ont un coefficient binomial nul.
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